铜锣烧系列 物理学最中枢的3个念念想：最小作用量旨趣、洛伦兹变换和度规张量
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物理学激励了公众的酷好心，但好多东谈主以为数学令东谈主尖嘴猴腮。可是，物理学中的好多中枢念念想源于浅薄的旨趣，这些旨趣经过疗养和修改，平稳演变为能够更好地映射物理雀跃的复杂格局化圭臬。
诚然好多物理学毕业生最终从事数据科学使命，但物理学中的数学见地能否为数据科学家提供启发并丰富他们的常识呢？我认为谜底是投降的。尽管数据科学手脚一个孤立的学科相对较新，但数据的会聚和分析连系了物理学的历史，举例约翰内斯·开普勒通过会聚天文不雅测数据推导出了行星指挥定律。物理学和数据科学皆从数据中索要模式，尽管数据科学频繁惩处的是统计模式，而物理学惩处的是安妥法例的或要领性的模式。清爽基本定律不错匡助数据科学家在建模复杂系统和诞生着实天下雀跃的模拟时取得更好的效能。
在本文中，我将探讨撑捏大部分物理学的三个数学念念想：最小作用量旨趣、描摹爱因斯坦狭义相对论中时辰和空间变换的洛伦兹变换，以及支捏广义相对论（行将引力解释为时空曲率的表面）数学基础的度规张量。
最小作用量旨趣可能是通盘物理学中最迫切的旨趣，因为它连系了经典力学和量子力学。它提供了一个与牛顿发明的描摹物理系统演化的经典指挥方程等效但不同的表述。具体来说，它通过细则最小化一种称为作用量的东西的旅途来描摹物理系统在时辰上的指挥。作用量是一个泛函，即一个以函数为输入的函数，它描摹了系统在两个点之间旅途变化的驻定性。
驻定性（也称为极值性或停滞性）在物理学和数学中是指某个函数在某点近邻不再不绝增大或减小，而是处于一个极值点（极大值或极小值）或驻点的性质。在这个点上，函数的一阶导数（即斜率）为零，函数的值“停留”在某个踏实的景况。
翁雨澄 肛交函数：输入数值，输出数值
泛函：输入函数，输出数值
算子：输入函数，输出函数
清爽作用量手脚一个泛函，特殊是手脚对旅途变化进行评分的器用，是清爽其背后宗旨的要害。下文的解释将使这少量愈加明晰。这一权臣收尾将指挥抒发为在给定敛迹条目下的一种优化函数。
洛伦兹变换描摹了时辰和空间坐标若何交汇成一个合股的度量，从而使它们的测量能够相干于惯性参照系中的不雅察者成比例地变化，同期保捏光速不变。这个格局化圭臬确保了光速在不同参照系中保捏恒定，这与牛顿的假定相悖，后者认为光速会相干于不变的空间和时辰单元发生变化。在狭义相对论提议之前，光速的恒定性是一个与经典物理框架不相符的实验不雅察雀跃。
终末，咱们解释度规张量背后的数学念念想，它描摹了曲面上的长度或距离。度规张量是一个双线性、对称的恒等矩阵，它将平坦的欧几里得空间中基于毕达哥拉斯定理的长度宗旨实施到包括曲面在内的任何可能的空间。曲面被爱因斯坦用来描摹在引力存鄙人时空的诬告。你们可能特殊纯熟欧几里得距离和线性代数，因此清爽度规张量背后的宗旨应该是一个自可是然的事情。由伯恩哈德·黎曼发展起来的度规张量组成了非欧几里得几何的基础，奇妙地将长度的宗旨实施到任何基础几何上。
最小作用量旨趣最小作用量旨趣组成了物理学的中枢。它包括了指挥方程，并以数学格局抒发了物理系统在时辰上过渡的章程。
要动手清爽这个旨趣，追想一下牛顿第二定律是若何通过三个输入来缱绻粒子系统的轨迹的：粒子的质地、作用在系统上的力，以及启动位置和速率，并通过F=ma细则演化章程，其中m露出质地，a露出加快度。与牛顿的圭臬不同，最小作用量旨趣通过输入启动和最终位置、质地和速率（以及根据系统的不同而不同的其他敛迹）来缱绻系统的轨迹，但不详了力的作用。它随后遴荐了最小化一种称为作用量的数目的旅途。在咱们解释作用量的具体内容之前，咱们需要清爽牛顿方程的另一种表述，即拉格朗日量（Lagrangian）。
拉格朗日量L被缱绻为动能T与势能V之间的差值，其中T由质地与速率宽泛的乘积除以2（2露出启动速率与最终速率之间的平均值）得出，而V则由物体的质地m、重力常数g和物体离地高度h的乘积得出（势能的缱绻随系统的不同而变化）。
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其中：
m = 质地
v = 速率
g = 重力强度 9.8 m/s²
h = 高度
N = 粒子数目
k = 粒子标签
为什么拉格朗日量是通过动能和势能的差值缱绻出来的？因为当系统治领时，它将势能更始为动能，而两者之间的差值捕捉到了这两种能量之间的动态相互作用。相悖地，迫切的是要凝视，总能量是通过这两个值的和缱绻出来的。
拉格朗日量的输入是位置 x 和速率 v。这是因为速率是位置的第一导数。
要缱绻拉格朗日量，咱们至少需要知谈速率、广义坐标、位置和粒子的质地。势能取决于粒子（或一组粒子）的位置，因为它描摹了该粒子可能作念的功，而动能取决于粒子的速率，因为它描摹了粒子的指挥。
在盘问物理系统的轨迹或旅途时，作用量是若何成为一个要害宗旨的？联想在一条曲面上有两个点，你需要找到最短的距离。这两个点之间有好多旅途，但唯有一条旅途露出最短距离。作用量肖似于这个问题。为了找到系统的轨迹，咱们需要遴荐一条使作用量最小化的旅途。由此扩充，作用量在系统演化进程中保捏驻定。
由于作用量必须是驻定的，因此作用量的一阶偏导数必须为零：
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在高端倪上，作用量通过拉格朗日量在给定时辰区间[t_0， t_1]的旅途积分来描摹。尽管从 t_0 到t_1的函数积分频繁被清爽为弧线下的面积，但拉格朗日量的旅途积分不应直不雅地被视为面积，而应被视为泛函的积分。泛函所以另一个函数手脚输入并输出标量的函数。输入是拉格朗日量，输出界说了作用量。在系统不错在t_0和t_1之间吸收的好多旅途中，咱们会发现它赶巧遴荐了最小化作用量的旅途。
以下是作用量手脚拉格朗日量旅途积分的浅薄公式：
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当今，由于定积分不错通过函数f(x)输出的y值与x的变化（露出为 Δx）的乘积的黎曼和来缱绻，当 k的区域分区趋于无限大时，咱们不错将作用量缱绻为拉格朗日量与时辰导数 dt的乘积的黎曼和。换句话说，拉格朗日量的定积分不错通过在时辰区间内最小化作用量来缱绻。
作用量由系统启动位置和最终位置之间的拉格朗日量旅途积分组成。这意味着旅途积分通过缱绻势能和动能之间的差值来最小化作用量。微积分的基本定理允许咱们将作用量缱绻为t_0和t_1 之间的连气儿区间，尽管它也不错在闹翻时辰步长N入网算。若是咱们将作用量联想为闹翻时辰步长 N的总额，咱们不错将其缱绻为拉格朗日量在每个时辰步长的值与时辰t值的乘积的总额。
拉格朗日量频繁依赖于位置和速率，但也不错是时辰干系的。若是拉格朗日量随时辰变化，即使其位置和速率保捏不变，咱们就说它是时辰干系的。不然，拉格朗日量隐式地通过位置和速率的变化依赖于时辰。关于时辰无关的公式，咱们将 L(x，x˙)代入方程，以露出其对位置和速率的依赖性：
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当今，根据动量守恒定律，系统统共动量之和的导数等于零。换句话说，在一个孑然系统中，总动量历久是守恒的或保捏不变的。常数的导数为零，因为变化率保捏不变或特殊。在牛顿力学中，第三指挥定律标明，每一个作用皆有一个相悖且特殊的副作用劲，这抒发了总动量的守恒。
雷同，能量守恒定律认为孑然系统的总能量在职何更始进程中皆是守恒的：总能量的时辰导数为零。可是，与动量不同的是，能量有不同的格局。统共这些格局的总额是守恒的。用指挥的术语来说，能量唯有咱们一直在盘问的两种格局：动能和势能。
由于拉格朗日量界说为这两种能量格局之间的差值，当拉格朗日量在时辰平移下不变时，这意味着能量的守恒。
肖似于能量守恒的情况也出当今作用量方面。在细则的轨迹中，天然遴荐使作用量值最小的旅途。这种最小化肖似于优化问题中函数的最小化，只不外作用量代表了包括每个技艺统共坐标在内的多个变量。这种极值特质通过欧拉-拉格朗日方程抒发出来，酿成了指挥方程。
什么是欧拉-拉格朗日方程？它们是描摹系统若何从一个技艺出动到下一个技艺的微分方程。当今，我不会在这里推导这些方程，但直不雅上，咱们将作用量A相干于位置 dx的导数设为零。换句话说，咱们洽商旅途中的眇小变化，并要求作用量的偏导数为零。
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这会产生欧拉-拉格朗日方程的两个项：拉格朗日量对速率的偏导数的时辰导数，以及拉格朗日量对位置的偏导数。分别代表动能（动量变化）和势能的变化。将这两个量之间的差值设为零，就得到了最小化作用量的欧拉-拉格朗日方程。
单个坐标或解放度下的欧拉-拉格朗日方程如下所示，其中 L露出拉格朗日量，x点露出速率，x 露出位置。
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用天然谈话描摹，这个方程露出为：拉格朗日量对速率的偏导数的时辰导数减去拉格朗日量对位置的偏导数等于零。直不雅上，这不错再行表述为：拉格朗日量相干于速率的瞬时变化率的时辰导数减去拉格朗日量相干于位置的瞬时变化率是驻定的。
进一步简化，欧拉-拉格朗日方程意味着物理系统的指挥对应于拉格朗日量积分（即作用量）的极值。
该方程不错实施到苟且坐标（x，y，z，…n）：
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在具体情境中，作用量是一个泛函，也即是说，它是一个函数的函数，波及从一个函数输入（拉格朗日量）到标量输出（作用量值）的映射。
尽管最小作用量旨趣能够有用缱绻物理系统的轨迹，但它需要知谈启动和圮绝位置。拔赵帜立汉帜的是咱们使用牛顿格局化圭臬，它要肄业谈粒子的位置和启动速率。
最新伦理片 34， 34);font-family: "PingFang SC"， "Hiragino Sans GB"， "Microsoft YaHei"， "WenQuanYi Micro Hei"， "Helvetica Neue"， Arial， sans-serif;font-size: 18px;letter-spacing: normal;text-wrap: wrap;background-color: rgb(255， 255， 255);">最小作用量旨趣不错在迫切的截至条目下顺应量子物理，其中洽商了初态和末态之间的统共可能旅途，并通过缱绻每条旅途的概率幅的总额来细则系统的概率演化。
根据这种表述，经典的最小作用量旨趣不错被认为是量子表述的一个特例，在统共旅途中，最小作用量旅途占主导地位。
洛伦兹变换清爽洛伦兹变换是参加爱因斯坦狭义相对论的进口。它们组成了缱绻惯性或匀速参照系中的相对论时空变换的数学框架，即拆除引力的参照系。
狭义相对论的中枢宗旨是，指挥只可相干于某个参照系来描摹，而不成用全皆的方式来描摹。举例，若是我在开车，相干于汽车来说我是静止的，但相干于我的屋子来说我是在出动的。
相对指挥的宗旨存在于经典力学中，最早由伽利略描摹。
狭义相对论中冲破性的见地并不是相对指挥自己，而是在空间平移进程中保捏不变或恒定的内容。在经典力学中，统共指挥皆是无诀别地相对的，而空间和时辰的坐标仅以加法方式变化，同期关于统共不雅察者来说皆是静止且相互孤立的。
经典力学中的相对指挥假定意味着光的指挥也应投降相对论定律。换句话说，若是我站着不动并拿入部属手电筒，而你在开车并拿入部属手电筒，那么你手电筒发出的光的指挥应被测量为光速与你的速率之和。
可是，实考凭证与这一假定相矛盾。实践上，不管参照系若何，光的速率皆是恒定的。换句话说，实考凭证标明光速是全皆的。
爱因斯坦并莫得在不雅察收尾中寻找造作，而是将光速恒定性手脚天然司法。若是光速历久测量换取，那么必须改换的是空间和时辰坐标的露出方式。
要清爽爱因斯坦的狭义相对论若何杀青这少量，迫切的是对经典力学描摹的简化指挥方程有一个初步的清爽。这些方程将被修改，以便不雅察者之间的相对指挥不会改换光速，而是改换空间和时辰的交汇度量。这带来了一个奇特的收尾：当速率接近光速极限时，时辰和距离的测量会因不雅察者不同而有所不同。
指挥方程频繁被简化为SUVAT缩写（s = 距离，u = 启动速率，v = 速率，a = 加快度，t = 时辰）：
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闵可夫斯基度规
为了使洛伦兹变换易于清爽，咱们将使用时空图。这些图回转了距离和时辰的坐标轴，时辰露出为x轴，距离露出为y轴。此外，咱们使用y轴露出大的距离区间，因为咱们想解释相干于光速的指挥。光速为299，792，458 米/秒。在时空图中，一秒钟将对应于这个距离。这意味着图中位于坐标轴之间45°角的直线露出光速在时辰上的恒定性。实践上，笛卡尔坐标系中的对角线将代表光速的渐近极限，这将限度在y轴上时辰的平移和在x轴上空间的平移。
在时空图中，45°角的直线露出光速传播。若是一条直线的角度小于45°，这露出该物体以低于光速的速率（亚光速）匀速指挥。在牛顿经典力学的框架中，光速被视为和其他任何速率一样，不错相对重迭或减去。因此，在牛顿的不雅点中，直线角度大于45°的情况意味着该物体以超越光速的速率（超光速）指挥。此外，牛顿的模子假定时辰和空间的单元是不变的，即不管参照系若何变化，这些单元历久保捏恒定。因此，若是以半光速朝着光的方针指挥，从你的参照系来看，光速会减少一半，因为你认为我方在追逐光。可是，狭义相对论阐发这种清爽是造作的，光速在统共参照系中皆是恒定的，不会因不雅察者的速率而改换。
从将空间和时辰视为孤立测量到将它们整合为称为时空的连气儿体，这一飞跃波及将时辰变量更始为距离的测量。咱们通过将时辰变量与光速常数c 进行加权来杀青这少量。当咱们将c 乘以t 时，得到 ct，它测量的是1光秒。
在牛顿-伽利略的框架中，两个参照系S和S'分别由坐标(x， t)和(x'，t')给出，其中撇号符号用于差异两个相对的参照系（并不露出微分或导数）。这些参照系是可逆的，且在伽利略相对论中它们的逆是等价的。从S的参照系来看，S'的坐标（位置和时辰）分别由x' = (x-vt)和t' = (t- vx/c²)给出。雷同地，从S'的参照系来看，S的坐标由x = (x' + vt')和t = (t+vx/c²)给出。可是，这些调遣最终使光相对化，而不是时空。那么，问题来了，咱们若何从S →S' 进行调遣，以便在保留 c（光速）的同期，按比例缩放时辰和距离变量（更准确地说，时空连气儿体）？
一种推导这些调遣的圭臬是使用咱们上头先容的时空图，其中咱们通过常数 c对时辰进行了缩放。咱们正在寻找的调遣不错露出如下：
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事实上，咱们将行使参照系之间的对称性或等价性来推导出伽玛因子手脚相对参照系之间时空调遣的共同缩放因子，以反应光速恒定性。下图展示了这种相对指挥的伽利略对称性，抒发了咱们引入的两个参照系手脚相互的逆：
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参照系之间的可逆对称性。
由于光速在统共参照系中皆是恒定的，若是从两个参照系的原点动手（x = 0 和 t = 0），光的旅途将倨傲以下方程（追想一下，45°的对角线露出光速，其中一个时辰单元对应于光在一个距离单元内的传播距离）：
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从x到x'的调遣由以下方程给出，其中x'仅仅x与速率和时辰的乘积之差。当今，为了推导洛伦兹变换，咱们需要某个因子来缩放时空变换。因子等于v/c——即速率与光速的比值——并用于缩放ct。若是张开抒发式，会发现它在代数上简化为括号内的牛顿变换。正如咱们将看到的，当洛伦兹因子接近1时，洛伦兹变换就会等同于它们的牛顿对应物，这与咱们日常所清爽的事件的同期性相对应。以下公式展示了咱们若何从启动公式推导出伽玛缩放的相对位置调遣公式：
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雷同，咱们不错通过以下方程推导出从t到t'的时辰变换。由于使用的是时空图，咱们从ct'动手。咱们看到ct'不错通过ct和缩放x的差来缱绻，通盘抒发式再由洛伦兹因子缩放。通过张开抒发式代数求解t'，这将t'的解简化为t-vx/c²，并乘以：
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当速率特殊小时，vx/c²简化为0，简化为1，收尾为t'=t。这一收尾与咱们日常的牛顿教化相对应，即我在静止景况下的1秒钟约莫等于你相干于我以恒定速率指挥时的1秒钟。
正如你可能凝视到的，x'的调遣波及ct手脚一个项，而t'的调遣波及x手脚一个项。通过将它们手脚相互参照系变换中的项，时辰和空间变得交汇在一谈，酿成一个相互依赖的连气儿体，其中一个变量的单元变化对应于另一个变量的单元变化。这种相互关系将解释由洛伦兹变换描摹的时辰彭胀和空间松开的比例关系。
咱们若何细则洛伦兹因子的值？一种圭臬是将调遣方程相乘并求解共同因子。记取，由于咱们之前引入的等式，咱们不错分别用ct和ct'替换x和x'。这将使咱们能够消去换取的项并求解：
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当今咱们不错通过以下替换抒发x'参照系：
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况兼不错通过以下替换抒发t'参照系：
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在每个方程中，当速率v接近光速时，v²/c²接近1，分母的值接近√0。咱们从E=mc²知谈，具有静止质地的物体原则上不可能被加快到等于光速。因此，分母的值不可能物理上等于0。
另一方面，当速率很小，v²/c²是一个特殊小的数值时，分母的值接近1。当分母（称为洛伦兹因子）等于1或接近1时，洛伦兹因子变得无关要紧，方程近似为牛顿指挥方程。也即是说，指挥方程由分子给出，简化为牛顿的指挥方程。
洛伦兹因子是清爽洛伦兹变换的要害。若是你追想伽利略相对论，惯性参照系的互换性是通过旋转杀青的。旋转由三角函数描摹，三角函数保捏欧几里得距离不变。具体来说，旋转保捏半径不变。这意味着长度单元在调遣进程中保捏恒定。
肖似地，洛伦兹变换保捏了时空度规不变。与欧几里得度规不同，时空度规使统共的时空变换相干于光速这一全皆值变得相对。因此，光速酿成了洛伦兹变换所趋近但无法等同的渐近线。渐近线由穿过两个坐标轴的对角线组成。由于时空变换的边界既是无限的，同期又渐近于对角线，因此它们由双曲函数或旋转来描摹。双曲旋转是肖似于三角函数的函数，但使用的是双弧线而不是圆。与有限的圆不同，双曲旋转不错扩展到无限的边界。它们与三角函数对应的函数不错被描摹为对特殊数e（2.718）的指数运算，其中sin(x)的肖似物露出为sinh(x)，cos(x)的肖似物露出为cosh(x)，它们分别由以下函数描摹：
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就像在单元圆中(sin x， cos x)描摹其点一样，(cosh x， sinh x)酿成单元双弧线的右半部分。在狭义相对论的配景下，双曲旋转的角度被称为“赶紧性”（rapidity），用符号eta 露出。以下是与咱们之前推导出的洛伦兹变换等效的双曲旋转：
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洛伦兹因子与双曲旋转赶紧性之间的关系如下：
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若是伽利略旋转保捏半径或欧几里得距离不变，那么洛伦兹变换保捏什么不变？它们保捏闵可夫斯基度量不变，由以下第式给出，这与欧几里得距离肖似：
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由于实践的洛伦兹变换发生在四维空间中，1个时辰维度和3个空间维度，或者说4个时空维度，四维闵可夫斯基区间由以下方程给出：
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底下的GIF图展示了这些双曲变换手脚二维时空诬告，跟着速率接近光速而平稳趋近对角线渐近线。网格上的诬告露出由于不雅察者的相对速率导致的时空度量的诬告。跟着速率接近光速极限，空间（水平轴的双弧线）松开，时辰（垂直轴的双弧线）彭胀。这些交汇在一谈的变换保捏了闵可夫斯基度规s²的恒定，比例缩放这些变换以对消光速的不变性。
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空间松开与时辰彭胀不错在静止不雅察者和以匀速或惯性速率出动的不雅察者之间回转。若是你相干于一个静止的东谈主以接近光速的匀速指挥，雷同不错描摹你为静止，而对方则所以接近光速指挥。
度量张量：曲面几何狭义相对论中的洛伦兹变换发生在平坦的伪欧几里得空间中。什么是平坦空间？它是一种几何结构，其中点之间的度量或距离测量是恒定的。最著名的平坦空间度规是由毕达哥拉斯定理界说的。另一个平坦度规包括咱们上头盘问的闵可夫斯基时空度规。
欧几里得度规将两点之间的距离界说为直角三角形最短边的宽泛和的宽泛根。这源于毕达哥拉斯定理：a² + b² = c²。
从几何学上讲，欧几里得两点间的距离是每个坐标（x，y）之间宽泛差的和的宽泛根。
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毕达哥拉斯定理不错实施到n维空间：
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因此，咱们不错用底下的公式抒发三维空间中的欧几里得距离：
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可是，这种实施保留了欧几里得平坦空间手脚距离属性。换句话说，度量保捏恒定。
为了清爽度量张量，咱们需要学会将毕达哥拉斯定理视为平坦或欧几里得空间的特例。
换句话说，咱们需要界说一个中立空间，使得由毕达哥拉斯定理界说的欧几里得距离不错手脚特例推导出来。
在作念到这少量之前，必须问为什么在毕达哥拉斯定理中坐标差是宽泛的？这不错通过多种方式解释，但一种直不雅的解释是几何学上的。它们是宽泛的，因为这产生了等长的几何面积，洽商到面积是长度和宽度的乘积，这使咱们能够将斜边缱绻为直角边宽泛和的宽泛根。这个谜底由克罗内克δ界说的度量张量给出，若是i=j则输出1，若是i≠j则输出0。
可是，咱们也不错通过空间的广义度规来演示这个收尾，其中度规张量由切空间上的平滑变化的内积组成。
什么是切空间？切空间是切于流形上少量的统共向量的连合。
该方程的一般格局如下，其中g代表度规张量，μv是每个坐标项的度量张量值的索引，dX露出每个坐标的眇小位移：
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根据上述方程，咱们不错用以下乞降公式露出二维空间中两点之间的宽泛距离：
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在上头的公式中，g统共阁下的零和一以及x变量露出索引。具体来说，它们露出的是0和1的陈设矩阵，即：01， 00， 11， 10。
dx⁰和dx¹统共露出两个不同坐标的眇小位移，其中0和1露出索引。每个坐标的位移乘积与相应的度量张量g的值相乘。
因此，在上述公式中，g代表每个索引的度规张量的统共。为什么上头的公式有四项？因为两点由四个坐标或标量值描摹。在欧几里得几何中，隐含的基向量是切向量(0，1)和(1，0)。这些切向量高出了通盘欧几里得空间。当今g界说了向量空间中任少量处的切向量之间的内积。g的值通过统共可能的基向量组合的内积赢得。
当统共值露出两点之间的正交关系时，g的值简化为单元矩阵：
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在二维空间或两坐标系统中，咱们不错将欧几里得距离露出为度规张量和各坐标之间距离宽泛的向量的乘积。因为在平坦欧几里得空间中直角的度规张量是单元矩阵，两点之间的宽泛距离简化为如下所示的毕达哥拉斯定理：
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上头的公式也不错露出为咱们第一个公式中抒发的线性加权组合：
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欧几里得距离手脚带有g值的线性加权和。
如上所示，当g=0时，咱们不错摒除后两项，将方程简化为欧几里得距离。因此，咱们一经解释了度规张量的广义格局若何暗意欧几里得距离手脚一个特殊或极限情况。
当最短距离不成通过欧几里得距离露出时会何如？在日常直观中，咱们假定相对和相邻线段的长度存在直角，以便倨傲手脚斜边距离测量的毕达哥拉斯定理。在线性代数中，这特殊于假定正交基手脚空间的度量。基界说为高出该向量空间的线性孤立向量集。正交基是垂直的单元向量或内积为零的单元向量。
但这种先验假定在教化上可能是站不住脚的。事实上，底层几何可能以不同方式曲折或歪斜。若是是这么，咱们若何露出两点之间的最短距离？为了界说非欧几里得空间，咱们为度量遴荐了不同的基向量。这些基向量的陈设空间的内积将输出度规张量，该张量通过两点任何眇小位移的线性组合界说该度量中的距离和角度，公式如下：
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广义黎曼距离
当今，让咱们看一个使用极坐标（r， θ）的例子，其中r露出半径，θ露出角度。g度规张量通过陈设空间（r， θ）的内积得到，如下所示：
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若是咱们洽商欧几里得极坐标，度规张量将表现为底下的矩阵：
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极坐标的度量张量的具体实例
这是因为距离是通过以下方式缱绻的：
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当今，两点 (r¹¹) 和 r²²) 之间的距离不错通过缱绻r²-r¹和²-¹的距离，并将它们代入底下的公式得到：
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到当前为止，统共例子皆在二维空间中。天然，咱们不错将换取的念念想扩展到三维或N维空间。三维空间的度规张量将是一个3x3的矩阵，依此类推。
清爽度规张量是清爽广义相对论和爱因斯坦场方程的迫切一步。
在广义相对论中，爱因斯坦的场方程使费用规张量来描摹时空的曲率几何。
具体来说，爱因斯坦的场方程使用了三个张量：1）爱因斯坦张量G，它通过度规张量的导数描摹时空的曲率，2）能量-应力张量T，它描摹了天地中物资和能量的溜达，3）度规张量g，它界说了曲率几何中长度和角度的测量。爱因斯坦的场方程频繁由以下方程回顾：
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在广义相对论中，度量张量由一个4x4的矩阵组成，包含16个重量。正如咱们二维示例中的情况一样，度量张量由统共维度的陈设空间组成，在这个例子中，包含了3个空间维度和1个时辰维度，共同酿成了4维时空。可是，由于矩阵实质上是对称的，因此唯有10个重量是相互孤立的。
度规张量的通用格局如下所示：
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度规张量的值随时空的曲率而变化，因为它们编码了质地-能量的溜达。因此，与在统共变换中保捏长度恒定的欧几里得距离不同，曲率几何并不是这么。这即是为什么度量张量是清爽广义相对论的要害方面。
当今你一经了解了这些宗旨铜锣烧系列，好像你会对物理学中的复杂念念想和数学格局主义感到不那么怕惧了！
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